我们的世界究竟是不定域？还是不实在？ | 袁岚峰

向大家推荐一家著名的科普杂志，它叫做《科学世界》，由中国科学院科学出版社主办，制作精美，声誉卓著。他们邀我开了一个专栏，从2025年1月开始。下面来介绍我在《科学世界》2026年4月刊的文章，标题是《我们的世界究竟是不定域？还是不实在？》（为什么违背贝尔不等式是一件好事？ | 科学世界·视点）。

上一期我们说到，量子纠缠（quantum entanglement）最初是爱因斯坦和他的两位助手波多尔斯基（Boris Podolsky，1896 - 1966）和罗森（Nathan Rosen，1909 - 1995）在1935年提出来的，他们的目的是推翻量子力学，或者至少是证明它不完备。这三人被合称为EPR，因此处于纠缠态的一对粒子也往往被称为EPR对。在EPR提出这个问题之后，量子力学的另一位奠基人玻尔立刻发表了反驳，为量子力学辩护。

在激烈的争论之后，物理学界的主体很快就把这个问题抛在了脑后。因为看起来，这是个纯粹的哲学问题，双方并不能提出什么可观测的判决性实验。而当时量子力学的应用方兴未艾，年轻的物理学家有的是建功立业的机会，如粒子物理、固体物理、天体物理都产生了很多诺贝尔奖，激光、半导体、核磁共振、发光二极管等技术极大地改变了人们的生活。在这种情况下，谁还会去关心一个没有实际产出的玄想呢？

然而，至少有一个人关心！这个人的深邃思考，极大地扭转了物理学的前进方向。如果没有他，可能我们直到现在都没有意识到量子纠缠包含着这么深刻的内容。这位思想家，就是北爱尔兰物理学家约翰·斯图亚特·贝尔（John Stewart Bell，1928 - 1990）。

上一个以一己之力扭转物理学前进方向的人，是爱因斯坦。他提出狭义相对论的工作可以说是临门一脚，因为在他之前，洛伦兹、庞加莱等人离狭义相对论也已经很近了。但他提出广义相对论的工作就完全是天外飞仙，在很长时间里只有他一个人在思考这个问题。如果没有爱因斯坦，可能直到现在我们都没发现广义相对论。贝尔对量子纠缠发挥的作用，就像爱因斯坦对广义相对论发挥的作用。

1964年，贝尔发表了一篇论文，标题是《论EPR悖论》（On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox）。他石破天惊地指出，玻尔和爱因斯坦的争论并不像表面看上去那样空对空，它其实是可以实验判决的。如何判决？这就是我们下面要讲的重点了。

上一期我们说到，在EPR看来，一个好的理论应该满足两个条件，分别叫做定域性（locality）和实在性（realism）。定域性或者局域性的意思是，一个事件的影响需要经过一定的时间才能传到其他地方，换句话说就是信息传输不能超光速。实在性的意思是，物理量在测量之前就有确定的值，也就是说它具有不依赖于测量的取值。定域性和实在性加起来，就叫做定域实在论或者局域实在论（local realism）。

乍看起来，定域性和实在性这两个条件都很合理，而且这两个条件是如此的宽泛，很难想象它们能推出什么可观测的后果。但贝尔指出，定域实在论其实会对测量结果施加一个限制，而量子力学的测量结果可以违反这个限制！所以观测真实世界是否满足这个限制，就可以判断是量子力学正确，还是爱因斯坦正确！

具体而言，这种限制往往表现为不等式的形式，我们把它称为贝尔不等式（Bell’s inequality）。实际上贝尔不等式不是一个不等式，而是一类不等式。它们都是说，任何一个既定域又实在的理论都会满足这个不等式，而量子力学可以不满足这个不等式。所以通过对这个不等式的实验检验，就可以判断真实世界是否能够被定域实在论描述。

说到这里，大家可能还是云里雾里，不知所云。下面，我们来举一个具体的贝尔不等式，它也是教材中最常见的例子。它其实并不是贝尔最初提出的版本，而是四位科学家在贝尔之后提出的更容易理解的版本，我们往往用四位科学家的首字母缩写把它称为CHSH不等式。

假设有两个待测体系，分开一段距离，以使得对一个体系的测量结果即使以光速传播，也来不及影响对另一个体系的测量。用狭义相对论的语言说，这叫做类空间隔。再假设两个体系各自有两个可测的物理性质，比如说一号体系的两个性质叫做A和B，二号体系的两个性质叫做C和D，而所有这些A、B、C、D的取值都只有正负1两个选择。在每次实验的时候，有两个观测者分别对这两个体系各挑一个性质来测量，比如说对一号体系挑了A，对二号体系挑了D，那么我们就知道了当前的A和D，而不知道B和C。

现在重点来了，让我们考察一个特别的测量值组合：

P = AC + BC + AD - BD

咦，为什么要考察这个东西？为什么它的前三项都是加号，最后一项却是减号？妙处就在这里。把它稍微组合一下，就得到

P = AC + BC + AD - BD = (A + B) C + (A - B) D

请注意，A和B的取值只有正负1，因此A + B和A - B这两者当中必然有一个是0，另一个是正负2。假如是A + B = 0，那么右边就只剩下正负2D。而假如是A - B = 0，那么右边就只剩下正负2C。

再注意到，C和D的取值也是只有正负1，所以无论是正负2C还是正负2D，最终的取值都只有正负2这两种可能。由此我们得到结论：

P = AC + BC + AD - BD = ±2

需要注意，我们一次实验只能对一个体系选择测量一个性质，例如开头举的例子，对一号体系测量A，对二号体系测量D，这样我们就相当于测了一次AD。因此，P的值不是一次测量就得到的，而是多次测量之后把四个量的结果合并算出来的。比如说我们做了四次测量，分别测了一次AC、一次BC、一次AD和一次BD，再把它们加加减减，才能得到这个组合的值。无论如何，上面的推理告诉我们，组合的结果最终必然是正负2。

不过，如果我们真的做很多次这样的实验，测量P的平均值或者说期望值即<P>，是不是一定会发现它等于2或者等于-2呢？其实不一定，因为在真实的实验条件下，A、B、C、D这些性质可能并不是完全确定的，而是有一定的概率分布。但无论如何，上面的推理告诉我们，在任何一个瞬间，P的当前值都只有2和-2这两个取值。因此对它们取平均，也必然在-2到2这个区间里，即

|<AC + BC + AD - BD>| ≤ 2

这很合理，对吧？这就是CHSH版本的贝尔不等式。

在实验操作上，这个不等式告诉我们一个明确的结论。比如说我们做了四万次测量，分别测了一万次AC、一万次BC、一万次AD和一万次BD，分别算出四者的期望值，再把它们加加减减得到P的期望值，那么我们必然会发现它处于正负2之间。

到这里为止，一切推导都是严密的。请仔细想想，它背后的前提条件是什么？

其实就是实在性，即A、B、C、D这些物理量在测量之前就有确定的值。还有就是定域性，即不允许两个体系之间传递信息，杜绝它们串通作弊。这意味着，我们对任何一个经典的体系，或者更广而言之，对任何一个满足定域实在论的体系，都必然会发现这个组合的平均值在正负2之间。

然而，下面就是震撼的时刻：量子力学的纠缠态可以突破这个不等式！

具体而言，用前面多次提过的狄拉克符号（Dirac notation），我们可以制备一个这样的双粒子纠缠态，即EPR对：

(|01> - |10>) / sqrt(2)

把这两个粒子分别发到两个地方，作为两个待测体系。然后对于A、B、C、D这四个待测性质，分别定义如下：

A = Z₁

B = X₁

C = -(Z₂ + X₂) / sqrt(2)

D = (Z₂ - X₂) /sqrt(2)

这里的下标1和2分别表示一号粒子和二号粒子，Z和X是两个泡利矩阵（Pauli matrix），分别与z方向和x方向的自旋（spin）有关。由于篇幅限制，我们无法在这里详细解释泡利矩阵和自旋的概念，但可以稍微解释一下Z和X的定义。Z和X是两个操作或者说算符（operator），它们的定义就是，把它们作用到|0>和|1>这两个基本状态上会得到什么状态，即：

Z |0> = |0>

Z |1> = -|1>

X |0> = |1>

X |1> = - |0>

根据这些定义，就可以计算AC、BC、AD和BD这四者的期望值。然后有趣的事情发生了，计算结果是：

<AC> = 1/sqrt(2)

<BC> = 1/sqrt(2)

<AD> = 1/sqrt(2)

<BD> = -1/sqrt(2)

前三个都是正的，第四个是负的。在P = AC + BC + AD - BD这个组合中，不也正好是前三个都是正的，第四个是负的吗？于是我们发现，

<AC + BC + AD - BD> = 4 × 1/sqrt(2) = 2 sqrt(2) ≈ 2.828 > 2

这是怎么回事？！我们前边不是已经严格推出，<P>不可能大于2吗？怎么这里就推翻了它？

其实这正说明这个推导的前提对量子力学不适用，即量子力学不满足定域实在性。再具体一点说，这跟我们在以前解读过的不确定性原理（uncertainty principle）也有关系。Z和X这一对物理量，就像以前举的位置和动量一样，是不能同时确定的，因为它们的不确定度相乘有个最小值。

因此，在经典力学或者任何满足定域实在性的理论里，我们默认在任何一个时刻，A、B、C、D这些量都有定义，但在量子力学中并非如此。你如果选择了测量一号粒子的Z（即A值），那么同时它就不会有一个确定的X（即B值），反之亦然。所以前边那些推理，如A和B都只能取正负1，因此A + B和A - B中必然有一个是0、有一个是正负2等等，从根基上就不成立了。

更仔细的考虑是，在经典力学中，P = AC + BC + AD - BD的当前值就是把A、B、C、D的当前值代进去。但在量子力学中不是这样，我们可以测量A、B、C、D的当前值，也可以测量P的当前值，但后者并不等于前者的当前值代进去得到的值。因为当测量P的时候，我们是在强迫体系落到P的本征态上，它并不是A、B、C、D中任何一个的本征态，这时候A、B、C、D中的任何一个并没有确定的值。当你测了一次P之后，当然可以再去测A、B、C、D，然后根据它们的测量值算出一个AC + BC + AD - BD的取值，它确实必然等于正负2，但这跟前面测得的P没有关系。

在实验上，这意味着什么呢？其实在实验流程上，量子体系和经典体系是一样的，我们仍然是通过对AC、BC、AD和BD这四个量的测量，把它们组合起来得到AC + BC + AD - BD的平均值。但当我们对前面那个纠缠态做实验时，会发现AC、BC、AD和-BD取1的概率比经典情况高，取-1的概率比经典情况低，最终把AC + BC + AD - BD的平均值拉到了2以上。

现在对此的描述是，量子力学可以表现出超越经典的关联。这就是贝尔不等式的意义。只有学过贝尔不等式，才能明白经典体系的关联会有个限度，才能明白超出经典的关联是什么意思。其实，现在实验上对量子纠缠的判断标准就是超出经典的关联。

不过到这里为止，其实全都是理论推导。贝尔这篇文章并不是对真实世界是否满足定域实在论给出了判决，而是指出了一种判决的方法，即做这个纠缠态关联的实验，看结果是否满足贝尔不等式。

更有意思的是，贝尔本人的倾向其实是希望证明量子力学是错的！也就是说，他希望测量结果满足贝尔不等式，违反标准的量子力学理论。

其实贝尔是爱因斯坦的铁杆粉丝，他深入研究量子纠缠的动机也是想证明爱因斯坦是对的。他对玻尔与爱因斯坦之争的评论是：

“我觉得在这个例子中，爱因斯坦对玻尔的智力优势是巨大的，这是在一个能清楚看到所需之物的人和一个含糊其辞的人之间的巨大鸿沟。”（I felt that Einstein's intellectual superiority over Bohr, in this instance, was enormous; a vast gulf between the man who saw clearly what was needed, and the obscurantist.）

Duang，玻尔遭到一万点暴击！当然，玻尔确实也有在很多地方含糊其辞的问题，对此的高情商表述可以是：他的物理直觉很强。

然而，贝尔的实验方案并没有产生他希望的效果，而是走向相反的方向。从二十世纪七十年代开始，不断地有人做贝尔不等式的测量实验。一开始是零星的，离经叛道的，连自己的导师都不支持，到后来就逐渐蔚为大观。所有这些实验，都以越来越高的精度证明了现实世界不满足贝尔不等式，证明了量子力学的正确。到现在，贝尔实验成了量子信息中的标准操作，几乎任何一个用到量子纠缠的实验方案都会在某个环节进行贝尔实验，用来检验是否真正产生了纠缠。

所以我们现在很清楚，真实世界满足量子力学，不满足定域实在论。但需要注意，这只是意味着真实世界不可能同时满足定域性和实在性，两者中至少要抛弃一个。然而究竟要抛弃哪一个？我们的世界究竟是不定域？还是不实在？还是既不定域也不实在？目前的实验还是无法判决的，理论家仍然有自由去选择。

2022年，三位贝尔实验的先驱获得了诺贝尔物理学奖，他们是美国的克劳泽（John F. Clauser）、法国的阿斯佩（Alain Aspect）和奥地利的塞林格（Anton Zeilinger）。你可能想问，为什么没有贝尔本人？回答是因为他在1990年去世了，享年只有62岁。如果他活着，当然会得诺贝尔奖。事实上，他对科学的影响比大多数诺贝尔奖获得者更大，更深远。

诺贝尔奖委员会对克劳泽、阿斯佩、塞林格三人获奖理由的描述是“因为用纠缠光子做的实验，确立了贝尔不等式的违反，开创了量子信息科学”（for experiments with entangled photons, establishing the violation of Bell inequalities and pioneering quantum information science）。如果没有前面的解读，我们可能对这种表述感到很迷惑：什么叫做确立了贝尔不等式的违反？为什么违反会是一件好事？为什么这对量子信息科学有开创之功？现在，我们就可以理顺这些逻辑了。

贝尔不等式告诉我们的最基本的信息，就是纠缠态可能会发生一些深刻的事。在历史上，量子信息科学的很多进步都来自问一个简单的问题：“在这个问题上，量子纠缠会给我们带来什么？”在量子信息的许多领域，如量子隐形传态、超密编码、测量仪器无关的量子密钥分发以及原子钟、磁强计、陀螺仪等等，量子纠缠都发挥了或有望发挥关键作用。其实在量子信息的三大分支中，跟量子纠缠关系最密切的是量子计算，因为量子通信和量子精密测量都只是可以用量子纠缠，而不是必须用量子纠缠，但量子计算是真正离不开量子纠缠的。如果一台所谓量子计算机没有量子纠缠，它就不可能超越经典计算机。

更大的图景是，量子纠缠是一种新的资源，就像能量、信息、材料一样是一种基本的资源。用量子资源，有可能实现一些用经典资源无法做到的事。唯一的问题，只是我们现在对这种资源的理解还远不够深入。例如直到现在，对纠缠度的定量描述还没有一个统一的定义。量子信息研究者经常把纠缠比作青铜时代的铁，意思是一方面它很重要，一方面我们还不太会用它。但无论如何，它必然会在下一个时代大放异彩。

如果把视角放得更大，我们从贝尔的故事中学到的更普遍的教益，就是哲学问题有可能上升为科学问题。哲学家往往喜欢说把科学问题上升到哲学问题，但这其实是一种自大。能够准确描述、能够定量研究、能够实验判断的问题是科学问题，只能模糊描述、不知道如何做实验判断的问题是哲学问题。如果一个问题从无法定量研究上升到可以定量研究了，它就从哲学问题变成了科学问题，这是一种进步。

贝尔的贡献，就是把量子力学与定域实在论的关系这个哲学问题变成了科学问题。无论后续的实验结果如何，是否跟他最初的设想一致，提出这个实验方案本身就是最伟大的进步。现在科学前沿仍然有很多模糊不清、甚至不知道如何描述的问题，如量子力学与意识的关系、与测量的关系。如果有人能把这些问题转化为科学问题，必将是划时代的成果。

最后，让我们向贝尔的勇气和洞察力致敬。贝尔在很多方面都跟爱因斯坦很像，例如他们都是在某个时期以一人之力改变了物理学的走向，都是对量子力学发起挑战，也都失败了，然而他们的挑战极大地加深了我们对量子力学的理解。

贝尔也有一点跟爱因斯坦十分不同，就是他从来没有达到像爱因斯坦那么大的公众知名度。更有意思的是，对贝尔不等式的研究在他自己的学术生涯中所占的篇幅也并不大，他大部分研究的主题是粒子物理、量子场论和加速器设计。也就是说，如果贝尔没有发表贝尔不等式，我们仍然会记得贝尔是一位在主流领域勤勤恳恳开垦的科学家，但完全不会知道我们错过了什么，不会知道有人对世界的本质有过如此深刻的洞察。

令人震惊与敬佩的是，在许多年里，在大多数人早就对量子力学基础问题失去兴趣的时期，贝尔是以怎样的毅力、怎样的专注在独自思考这个问题。单这个孤独，就足以令人透不过气来。中国有位思想家叫做顾准，有人评价他“几乎是一灯如豆，在一条思想的隧道中独自掘进”，贝尔也是如此。

爱因斯坦纪念居里夫人有一句名言：“第一流人物对于时代和历史进程的意义，在其道德品质方面，也许比单纯的才智成就方面还要大。”这也是我们对于贝尔，对于所有科学道路上的孤勇者，最好的纪念。