左起：郭春豪、王哲、严正、朱彦璋、丁一茗。摄影 朱丹阳

注意看，中间的这位是严正，他的实验室叫量子多体计算实验室。竖起的大拇指不只是在点赞，也是在描述向上的电子自旋。在某些材料中，正是电子自旋倾向于保持一致，才有了宏观上的磁性。

所以，老师和学生正在表演一块磁铁，简称“老铁”，开个玩笑。

量子力学，实在令人头秃。严正团队所在的研究领域，是通过搭建模型以研究复杂的量子多体关系，其中涉及的计算难度，让超级计算机也无能为力。严正团队不得不严“正”以待。

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近日，严正团队与合作者在国际物理学期刊Physical Review X发文，他们建立了基于Rényi热熵及其导数的统一有限尺寸标度理论，为准确区分不同类型的量子相变提供了新方法，并在多个长期存在争议的量子模型中发现了支持弱一级相变的新证据。

听不懂？没关系，我们将从被称为“玩具模型”的构建出发，感受一场从简单走向复杂的游戏，并奇迹般地在真实世界重逢。准备好了吗？ 一起走。

温馨提示：

本文只涉及中学数学知识，包括函数、导数和自然对数，请放心阅读

专业读者可以点击论文

journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/42kr-81xw

 01 玩具模型 

在黑板上画一个点。

这个点可以是太阳系里的某个行星，可以是杯中的一个水分子。今天的这个点代表电子的自旋。自旋是某种量子力学属性，可以和宏观的磁性有关。当沿某个特定方向测量电子自旋时，可以得到向上或者向下两种状态：

↑，↓

这就好像小磁针，但正是无数个微观小磁针，造就了材料的磁性。也许是世界太寂寞，人生太孤独，你又加了一个点，那么就有四种可能：

↑↓，↑↑，↓↓，↓↑

好像在抽签，你只想要一个上上签。和磁铁中自旋倾向于一致不同的是，这两个相邻自旋倾向于反着来，虽然它们总是在不停“翻转”，不断变化。其实，你已经开始描述反铁磁材料的特性了。就好像两个人，总是意见相反。那这两个人有没有可能意见一致呢？是有可能的，但那不是常态。

祝贺你，开始用概率的思维来看待世界。这些不同的相互作用，其实构成了一个系统不同的能量状态，只不过不同的能量状态出现的概率不一样。是不是像极了有时候正能量，有时候负能量的你？

既然两个点就能做简单的预测，于是你加大剂量，一口气画下16×16=256个点。那么256个点就是2的256次方种可能，这是一个由78位十进制数字组成的庞大整数。可观测宇宙中所有原子数大概是在十进制80到82位，2的256次方已经是天文数字。

这还没完，其实每一个点并非只有两种经典的状态，都存在量子叠加态。刚才的天文数字仅仅是描述“舞台的维度”有多少种，“量子精灵”们还没开始“跳舞”呢。实际上涉及的计算复杂程度是：

2²⁵⁶×2²⁵⁶ 

玩具模型（toy model）：在面对复杂的非线性、多体或高能物理问题时，直接求解全尺寸的“真实方程”往往会陷入数学泥潭。玩具模型就像是给物理学家的“概念沙盒”，允许他们在安全的边界内测试新奇的猜想

啊？你气不打一处来，准备摔粉笔走人。但转念一想，毕竟是创造了一个世界，还是负点责吧。你坐了下来，无聊地看着上下翻动的箭头，慢慢品味出模型的本来真面目。自旋之间除了喜欢不一致，还可以形成另一种特殊的纠缠态——总自旋为零的单态，不能再用两个彼此独立的箭头描述。

情况十分复杂，事已至此，你顺便做了记号，J表示最近邻反铁磁交换强度，Q表示同时涉及两对自旋的多自旋作用。这两类作用的相互竞争，此消彼长，彼长此消，可使体系在反铁磁长程序与价键固体序之间转变。

这也像极了人类社会，有人争吵，有人抱团，抱了团的人又继续争吵。

三种不同类型的J-Q模型，Q的统计方式有所区别

现在，喧闹的世界里有了一个旋钮，就是Q/J的比值。

仿佛借着上帝之手，你转着旋钮，让系统在两种状态间来回变幻，好玩极了。这，其实就是相变，冰受热后化成水是相变，磁铁加热后失去磁性是相变，后者可以用大名鼎鼎的伊辛模型来描述。

不同的是，前面这两个例子，都是温度驱动的相变，但你手中的这个相变，在热力学零温时发生，它是靠量子力学中的相互作用驱动的。这就是量子相变。

对于相变，有两种分类，一级相变（例如冰化成水）和连续相变（例如磁铁失去磁性）。那么，J-Q模型中的量子相变是哪种类型的呢？竟然是一直有争论。过去的研究显示，J-Q模型看上去像是连续相变，但它相变前后的对称性完全不同，并不符合传统的连续相变理论。

奇了，怪了。

无独有偶，理论学家早就“盯”上这类问题。2004年，Senthil等人提出退禁闭量子临界点理论，描述了一种超越朗道范式的连续量子相变。它发生在两种看似“水火不容”的量子有序态之间——有人也猜测J-Q模型正是如此。

果真如此的话，那对相变的理解还将彻底改写。但现在，在严阵以待这个问题之前，我们需要更强有力的办法，来判定J-Q模型的相变分类。

这同样也很困难。模拟游戏，游戏模拟，并不容易。

玩具模型也绝非玩笑话，这是一个物理学术语，游戏中饱含了对世界的深意。最著名的玩具模型就是伊辛模型，也启发了如今的人工智能。

 02 赌场轮盘 

量子体系过于复杂，难以计算，但总有办法，其中一种，是赌场给的启发。

二战期间，乌拉姆等人提出了蒙特卡洛方法，这是一种用大量的随机性抽样统计来逼近求解答案的思想。蒙特卡洛，是摩纳哥一家赌场的名字，乌拉姆的叔叔经常去呢。

赌场的轮盘象征着随机性，每一次转动，仿佛是来自世界深处的一次投射。

严正笑称这个学派为“卡门”，这有点像是社会学领域的抽象调查。既然体系过于庞大，那就用有限样本来估计整个系统的物理量。既然涉及到取样，就存在取样精度。好巧不巧，J-Q模型在相当精度的取样下，都展现出连续相变的特质。

好似远观群山，连绵不绝，也许你只有放大到足够精度，你才能看到断崖。但是当“提高采样精度”无望时，严正团队就要找到更巧妙，或许也是更接近本质的判定方法。

事实上，严阵以待的，是极高维度的复杂图景，二维不过是一种简化的比喻

让我们来重新审视这场游戏。

当物理学家为世界建模时，必须诚实。即便是16x16=256个格点，和现实材料还是天壤之别，凭什么256个点就敢反映这个世界？那就保持谦卑。

从小尺寸体系出发，一步步扩大系统的尺寸，然后观察对比不同体系的计算结果，检验数据是否遵循理论预言的尺寸变化规律，再据此分析宏观可能的极限。

这就是有限尺寸标度理论，一步步逼近。

接下来，研究团队准备先从J-Q模型是一级相变还是连续相变入手。核心判定标准，就是看自由能函数的一阶导数，一级相变的自由能一阶导数是不连续的。来看自由能的构成：

自由能=总内能-熵×热力学温度

这里最核心的概念——熵——理解为微观状态不同的组合数量。举个极端例子，一个房间分成左右两边，且只有四个空气分子，四个分子到处乱跑，如果只允许它们出现在左边房间，只有一种组合，那如果允许出现在左右两边各两个，那就有6种可能，熵更大。

所以，空气倾向于均匀分布，是因为这种排列组合的可能性更大。这是19世纪后半叶从玻尔兹曼开始的一次物理思想飞跃，是他首次将概率引入了物理学的核心规律中，只是不被当时的世人接受，以至于郁郁而终，失去了自己人生的可能性。

用这个简单的例子，来理解熵

此时再看自由能的构成，你会发现，物理系统总喜欢能量最低，但也要可能性最大。用时髦的话来说，物理系统既想呆在能量最低的舒适区，又想拥有可能性最多的广阔世界。

物理啊，妥妥的人性。

对于相变来说，也和公司一样，世间万物颇具经济学头脑，总是让不同的相彼此竞争，如同竞标出价，价低者得。这里的“报价”，就是自由能。读到这里，也许你会不禁感慨，我自由吗？我能吗？

举水的例子。从内能的角度看，冰的内能其实比水更低。为什么冰还是化成了水？因为水的熵比冰大得多，它大幅度拉低了水的自由能。最终，虽然水的内能高了一点，但它的自由能比冰更低。而冰和水的熵差异巨大，导致了自由能的一阶导数终将分道扬镳。就好像两个性格不合适的人，注定要分手。

而一个物理系统能量的可能分布图景，才是一个更内在的描述。熵、总内能、自由能，都和这个能量图景有关系。对于这种图景的统计，如同一个人的简历一样，物理上称之为配分函数Z。经过推导，自由能可以简化为配分函数的自然对数形式：

F = −kT·ln Z

F是 Helmholtz 自由能，k是指玻尔兹曼常数k_B

T是热力学绝对温度，Z是正则配分函数

多提一句，为什么是对数，系统的微观状态的累积遵循的是乘法，而宏观能量的累积遵循的是加法，只有对数能够实现这种“跨界对接”，成为微观和宏观之间的翻译语言。

而蒙特卡洛的思想，应用在量子多体计算领域，常常就是对一个系统的配分函数Z的模拟计算。恰似HR对你的经历开始做电话背调，叮铃叮铃。

世界不是一个巨大的草台班子，世界是一个巨大的赌场。

蒙特卡洛思想最妙的一个例子，就是用统计的方法“测量”出圆周率。闭上眼睛，或者用计算机生成随机数，在正方形内均匀地随机投掷大量的小点（数量为N），落入圆内的点数(数量为M)，M和N的比值，就应该接近圆形面积和正方形面积的比值，而圆周率就在其中

玻尔兹曼的雕像，后面刻有后人按照他的理论整理的熵的公式，其中W就是微观粒子状态可能的组合数量

 03 愚公移山 

中国古代有愚公移山的寓言，莎士比亚《麦克白》里也有类似山林移动的预言。不可能之事终有可能。

山可移，林可动，那我们能否搬动J-Q模型中根本算不动的“干扰信号”？有时候，物理的想象力如此惊人，而灵感来源居然是数学中最简单的减法，又似文学般畅快。

接下来，有一些物理学家称之为技巧trick的东西。像是做菜，各种配菜你都得先准备好，然后煎炒烹炸一顿操作，味道刚好。

为了避免晦涩，接下来我们只讲最核心的“备菜”，并且简化描述。在选定的单位下，研究团队构造了一个逆温度β，记为β=1/T，是热力学温度的倒数关系。对这里主要考察的模型，研究者再让逆温度与线性尺寸成正比，取β=L。

这些“绑定”操作，最终就意味着随着尺寸不断扩大，温度不断降低，不断逼近我们想要的无穷大的体系。

如此操作，背后也蕴含着另一个巧思——通过成倍“缩放”，想办法把“干扰项”消掉。通过β对应的自由能的两倍，减去两倍β对应的自由能。中文有点拗口，公式如下：

2ln⁡Z（β）-ln⁡Z（2β）

这个构造其实是受到Rényi热熵的启发，这原本是一个热力学概念，被借鉴过来了，算是热菜冷吃。这本是实验室助理研究员王哲博士的“灵光一现”，最初并不知道可以用来判定相变，但随着研究团队的深入，发现“内容越来越多”。

王的“哲”思，严“正”以待。

用专业术语说，这种特定组合能抵消两个温度下共同的主要平滑背景（理解为对判定相变类型不重要的信号），突出临界涨落（对应于连续相变的特征）或两相竞争（对应于一级相变的特征）的响应。

“就好比10000和10001你很难一眼比大小，但0和1呢？”严正如此通俗举例。

效果立现。在L=40时（玩具模型的边长尺寸=40，也就是40×40=1600个点），Rényi热熵的一阶导数已经开始出现“分离”，一正一负，意味着J-Q模型是一种一级相变，尽管这种微小的“不连续”用之前的方法难以察觉，这是一种弱一级相变。

至此，一种新的Rényi热熵标度理论出现了。

也许，退禁闭量子临界点理论还有待进一步探索。也许，我们还可以暂时信赖传统的相变理论。朗道在天之灵恐怕会说一句：我谢谢你。

在L=40时，Rényi热熵的一阶导数已经开始出现明显“分离”，一正一负，意味着J-Q模型是一级相变

严正继续验证。

团队在二维各向异性海森堡模型、一维横场伊辛模型、双层Ising-Heisenberg模型等模型中发现这一方法适用，全面证实了RTE/DRTE标度理论作为一种不依赖序参量、无空间几何割口的新型诊断工具的普遍有效性与敏感度。

这是一个“啊哈”时刻。

原本为了探寻J-Q模型判定难题，结果发展出来的方法具有普适性，足以成为一个强有力的工具。

但这还不是最惊奇的时刻，为了理解β和2β构造为何如此有效，研究团队意外发现这一计算结构和现实物理实验的“时空卡西米尔效应”有着遥相呼应。

在现实物理实验中，当把两块平行导体板置于真空中时，排除万有引力，它们居然会相互吸引，似乎是从虚空中平白无故产生的力。究其原因，是两板之间的有限空间距离会限制长波量子涨落的模态。板间与板外涨落模态的差异会产生一个微小的残余自由能，表现为板间的宏观吸引力。

卡西米尔效应（Casimir effect）是由荷兰物理学家亨德里克·卡西米尔于1948年提出的一种现象，此效应随后被侦测到，并以卡西米尔为名以纪念他。其根据量子场论的“真空不空”观念——即使没有物质存在的真空仍有量子涨落，而提出此效应：真空中两片中性（不带电）的金属板会出现吸力；这在古典理论中是不会出现的现象

如果我们简化描述，这一份现实中的自由能的差值，像极了β和2β在计算中产生的差异。

还记得出发点吗？仅仅是从一个小点开始，我们构建了宇宙级别的复杂度，但是当我们用大脑试图拆解这份复杂时，又在真实物理世界中重逢了。

回头想想，我们用尽力气思考的问题，对宇宙来说，都已经不是回事儿。今天就到这里，前排同学记得把黑板擦一下。

 致谢 

助理研究员王哲和博士生朱彦璋为本论文共同第一作者；王哲、博士后郭春豪和严正研究员为共同通讯作者。北京航空航天大学陈斌斌教授、西湖大学博士生丁一茗和华南理工大学刘泽楠副教授（此研究时是西湖大学博士后）共同参与了这项研究。研究过程中，多位同行提供了有益讨论，西湖大学信息技术服务部门、高性能计算中心提供了计算支持，在此一并致谢。该项目得到国家自然科学基金、中国博士后科学基金、元匙量子专项经费、峰颖学术发展基金及西湖大学科研启动经费等支持。

邮箱

zhengyan@westlake.edu.cn

网站

zheng-yan-group.github.io

本次研究是从助理研究员王哲（左）一个很小的想法出发。最初，对于自由能的差值，只是抱着试一试的心态，随着博士生朱彦璋（右）、博士后郭春豪（中）等队友的加入，他们逐渐发现了更广阔的物理天地（图受访者提供）

如果你对严正实验室感兴趣，也可以扫码收听他们过往的一期播客