很多孩子学全等三角形这一章，会给出一个【蔑视】：太简单啦！

无非是:

• 三条边相等，三角形全等(sss)；

• 两条边和夹角相等，三角形全等(sas)；

• 两个角和夹边相等，三角形全等(asa)……

就这么几个定理，我半小时就背完了，好像也没什么难的。

的确不难，给你两个三角形，很容易利用定理判定它们是否全等。

就像给你一个锄头，你知道这是种地用的——识别的挺快，也能拿着锄两下。

但是它能延伸出什么，锄地的365种方式，你不知道。

• 其实，全等三角形是初中几何的分水岭，学透，注意是学透不是学会。

(学会很简单，大部分同学一学就会）

• 而学透则是知其所以然，并且知道它的意义及应用。

那么，学透全等三角形，后面的几何之路会走得很顺。

学不透，你根本不知道平面几何是干啥的，后面的很多内容也会似是而非。

最直接的：

• 很可能知道相似，圆，旋转等知识，但就是不会做题。

• 到大题中，读完题，两眼一抹黑，跪了。

因此，我希望引起你的重视。

02 分水岭的具体说明

首先，全等三角形是几何计算和几何证明的分水岭。

在初一你可能接触过一些几何内容。

• 那个时候是角度——跟平行、对顶角、外角、余角这些结合在一起，算角度的值，许多同学期末考试的噩梦就是一个复杂的角度计算题；

• 还有一些长度计算——跟绝对值结合在一起，算数轴上的长度，算线段之间的加加减减，有些题目其实出的挺难的；

• 偶尔有体积和面积计算——最突出的是阴影部分的面积，这点跟小学内容本质上区别不大，但难度有提升。等于对小学知识的一些复盘，同时提高一下难度……

这些都是几何计算。

包括之前我们上小学，小学里也学几何，但是从来没有证明。

小学几何内容也是计算，依然是角度、长度、面积。

但到了全等三角形，之后就是证明了。

到这里，几何思维发生转变——从“算出来”到“证出来”。

以前做几何题，目标就是一个确定的数值，算对了，over。

全等三角形之后，答案不再局限于数字，更多的是一条逻辑链：

• 为什么这条线段一定等于那条？

• 为什么这个角一定是90度？

• 为什么这三点在一条线上？

到这儿其实你接触到了数学这个学科的【真东西】——逻辑证明。

【勾股定理】明明更早，为什么数学界称它为【毕达哥拉斯定理】？因为数学的严谨性

很多同学在这个节点上会感到不适应。

因为他们习惯了“列式子、算结果”的解题模式，突然要写“因为……所以……”“在△ABC和△DEF中……”，会觉得繁琐、多余。

但恰恰是这种“繁琐”，才是几何思维真正的起点。

• 小学我们知道“三角形内角和是180度”，可能通过剪一剪、拼一拼来验证——其实还是找规律的模式，这叫不完全归纳，数学不认这个。

• 到了初中，我们要用平行线的性质去严格证明三角形内角和等于180°，这属于演绎推理，数学定理必须经过严格的演绎推理。

《几何原本》之所以经典，并不是因为它里面收录了很多定理，而是它为后来者示范的演绎推理方法。

全等三角形就是这种证明思维的第一次大规模训练场，如果你意识到这种思维的可贵性，那么它就是你几何学习中最宝贵的收获之一。

所以，当你开始学全等三角形时，不要只盯着“怎么证出来”，更要意识到：

你正在完成一次思维升级。

这是超越全等三角形本身的东西，正所谓数学思维。

其次，很现实的，全等三角形学不明白，初中数学想拿高分几乎不可能。

全等三角形的应用太普遍了，它是初中几何第一件真正意义上的"工具" 。

在这之前，你学的都是什么？线段、角、平行线、相交线。

这些东西，说白了都是"零件"——单独看，它们各自有各自的性质，但彼此之间缺乏有机的联系。

而全等，是第一次把这些零散的零件组装成一台能运转的机器。

这个机器带你走到证明的下一步，再下一步……找到一对全等三角形，会带来等量的几何关系，往往一道题就解出来了——正所谓解题关窍。

更重要的是，全等是后面几乎所有几何内容的“地基”：

• 等腰三角形的“等边对等角”，要靠全等来证；
• 平行四边形的对边相等、对角相等，要靠全等来证；
• 尺规作图的五种基本做法，从哪里来的？也依赖于全等三角形；
• 甚至圆里的很多性质，追根溯源，最后也要绕回全等……

基本尺规作图，除一个外，其他都以三角形全等判定为基础

你看，这不是一章的内容，这是整座初中几何大厦的地基。

地基没打好，你理解起后面的内容会很费劲，更不要提你在题目中刻意地运用全等三角形来解决问题了。

在具体的题目中，哪怕看着是圆，是四边形，最终还是要到三角形中解决问题，而全等三角形就是这里的重中之重。

当你遇到线段的问题，角度的问题，需要通过等量关系作为中介，或者你的目标就是证明相等的话，全等是你绕不开的工具。

同时，它本身又跟很多几何知识交叉——当一个知识点跟很多内容交叉的时候，不用怀疑，它很重要——它是枢纽。

走不动了、题目卡住了，往它身上想想，大概率上能成。

你说，学不透，能考高分吗？

03、如何学透？

首先，把上面的内容记好，在意识层面给足重视，也从总原则上知道为什么学，学了有什么用。

如此，你就比一般同学有更宏大的几何观。

其次，把握【对应】这个词。

对应有两层意思。

• 第一层，当然是两个三角形，边对边角对角，谁对谁要搞清楚，这在课本上都有。

SAS、ASA、AAS、HL 这些判定方式也是对应方式——基础知识要牢固嘛，这是必须的。

• 第二，所谓对应，不只是两个三角形之间边角的匹配，更是一种图形变换后的位置匹配。

不能只停留在“边对应边、角对应角”的层面。

如果只看到这一点，还是容易在复杂图形里迷路。

比如在四边形、圆、翻折图、旋转图中，题目给出的全等三角形往往不是规规矩矩摆在一起的，它们可能被旋转、翻折、平移，甚至被几条辅助线拆散。

此时，

• 如果只会机械地找相等线段和相等角，就很容易被图形迷惑；

• 而真正能稳定找到全等关系的，是对“对应结构”的理解。

两个三角形全等，意味着其中一个可以通过平移、旋转、翻折与另一个完全重合。

于是，对应关系本质上就是：

这个点经过变换后到了哪里，这条边变成了哪条边，这个角落在了哪个位置。

平面几何题虽然在卷子上是静态的，但是当你理解了这一层，就明白它们其实是动态的，出题人希望你能在图形变化中追踪点、边、角之间的对应关系。

所以才有动点问题——才有各种旋转和对称类题型作为压轴题。

更重要的是，对应还能反过来指导我们构造全等。

把握【构造】一词

各种辅助线里，构造类辅助线是最难的。

第八节 通过一个例题讲构造辅助线：无中生有呗！

遇到旋转类几何题，做辅助线，考虑构造全等三角形

构造不容易，你好像需要凭空想出来一条辅助线来帮助你形成某种图形结构，以达到解题的目的。

实际上，【凭空】不科学，构造也是有依据的，考察的是你对几何结构的理解程度。

比如，很多题目表面上没有现成的全等三角形，但如果我们知道某个图形可以通过翻折、旋转、平移得到另一个图形，就可以主动添加辅助线，把分散的条件“搬”到一起，构造出一对全等三角形。

倍长中线、截长补短、作对称点、旋转拼接，这些方法背后其实都有对应的影子：不是盲目添线，而是按照变换关系重新组织图形。

例子：

• 图里有一个等边三角形，那么它的三边相等，其中一条边可以看成另一条边旋转60°得到的。

• 如果这两条边都往外延伸出了三角形，你就可以考虑全等;

• 或者说你需要等量关系，可以根据这两条边做辅助线构建全等三角形——这就是为什么遇到等边三角形，你可以尝试找全等构建全等的原因。

还有：

• 当你看到图中有旋转、有相等的线段，有折叠——这里有等量关系，这些等量关系可以看作彼此变换得到的；

• 根据这些等量关系，把它们归拢到全等三角形中，就能够通过全等往下走得到更多等量关系；

• 那么，为了得到全等三角形，你需要构造、做辅助线——从这个角度，你的辅助线就不那么难做了。

所以，学全等三角形时：

• 先学会看对应：谁经过怎样的变换与谁重合；

• 再学会用对应：在复杂图形里追踪结构，在缺少条件时主动构造结构。

如此，算是学透。

真正学透全等的人，能在各种图形变化中看出“谁对应谁”，并能用这种对应关系构造新的结构，从而解决问题。

理论就是上面这些，接下来提供几个初中几何最常用的构造全等三角形的【套路】。

04 常用构造【招式】

第一，倍长中线。

什么时候用：当题目中出现中线，或者出现某条线段的中点时（出现中点可以先把中线画出来）。

怎么做：把中线延长一倍，构造出一对全等三角形（通常是SAS）。

说明：

中线本身把一条边分成了相等的两段，延长一倍后，就能利用对顶角和相等的线段，构造出全等。

全等之后，你可以利用等量关系推导更多几何关系，为后续推理铺路。

第二，截长补短。

什么时候用：要证明"一条线段等于另外两条线段之和，或者两条线段加在一起的值"，比如证明 AB = CD + EF，CD+EF的值。

怎么做：

两种思路——

• 截长
  在长线段上截取一段，让它等于其中一条短线段，然后证明剩下的一段等于另一条短线段。
• 补短
  把其中一条短线段延长，让它等于长线段，然后证明多出来的部分等于另一条短线段。

说明：线段之和不好直接算，某一条线段的值也不好直接算，那么，通过截或补，可以将一些不好算的地方等价了，这属于迂回求值。

下面有一篇文章，对这种辅助线做法有更详细的说明，可以拓展阅读。

第七节： “截长补短”类辅助线，底层逻辑是“等价代换”

第三，角平分线作垂线。

什么时候用：题目中出现角平分线时。

怎么做：

• （通常）从角平分线上的点，向角的两边分别作垂线，立刻得到两个全等的直角三角形（HL或AAS）。

• 也可以做一条垂直于角平分线的线段，与交角的两边相交，从而构成全等三角形。

说明：

• 角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角相等，加边相等，得到全等三角形。

• 反过来，角平分线的这个性质就是这么来的（利用全等证明的）。

另一种方式——做完垂线后，得到直角，也能证明全等。

哪怕你不构造全等三角形，见了角平分线，惯性地这么操作也能推进题目进程。

第五节：遇到角平分线，如何做辅助线？

第四、旋转

什么时候用：

题目中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等特殊图形，或者直接告诉你谁经过旋转得到了谁，就可以考虑构造全等。

怎么做：

就像上文说的，要把某个线段，某个三角形看成绕着某个点旋转xx°得到另一个图形——用这种方式构造全等三角形。

说明：

旋转不改变图形的形状和大小，所以旋转前后的三角形天然全等。

一些中心对称图形，非常适合旋转，要把它们看成动态的，而不是静止不动的。

很多压轴题里，线段之间看似毫无关系，旋转一下就能"对齐"，破题点往往就在这一步。

遇到旋转类几何题，做辅助线，考虑构造全等三角形

第五，翻折

什么时候用：

题目中出现角平分线、垂直平分线，或者图形本身具有对称性。

怎么做：

沿着对称轴（角平分线或垂直平分线，对角线等）把图形的一侧翻折过去，构造出全等三角形。

说明：

翻折本质是轴对称，对称前后的图形完全重合，所以全等。

翻折之后，原本在对称轴一侧的线段和角就能"搬"到另一侧，和已知条件对接上。

六、作垂线（构造直角三角形）

什么时候用：题目里有高、距离，或者需要利用勾股定理时。

怎么做：

从某个点向某条直线作垂线，构造出直角三角形，再用 HL（斜边直角边）判定全等。

在直角很多的图形里（矩形、四边形，直角三角形）也可以做垂线。

说明：

HL 是直角三角形独有的全等判定方法，只需要斜边和一条直角边对应相等就够了，条件比其他判定方法更宽松。

做垂线容易构成直角三角形，直角三角形是特殊三角形，利用它不仅全等好证明，其他条件也很好构建。

其实，构造就是：

把题目中"缺的条件"，人为地造出来。

辅助线从来不靠凭空想，而是根据题目的需求推导出来的。

当你有需求，结合题目中的条件，再去构造辅助线。

所以说，辅助线不是灵感，是需求——必须明白自己的需求，你还要深刻理解题目里几何图形的结构。

因为构造全等，本质上是在训练一种能力——识别图形中的"缺口"，利用图形特征，把缺口补上。

再往后，构造等边三角形、构造特殊四边形，甚至构造圆，本质上都是同一件事：

根据题目给出的结构特征，明确达到证明结果你需要什么，再人为地添加一个辅助结构，让隐藏的关系显现出来，为下一步证明做铺垫。

这就是关于全等三角形，我要说的内容了。

总结一下：

• 全等三角形是平面几何的地基，也是分水岭——中考成绩怎么样，就看这一章学不学得透；

• 除了基础知识要扎实，还要把握【对应】和【构造】两个关键词，它们是相辅相成的。

• 构造类辅助线虽然难做，但它也不全靠灵光一闪，而是在你明白自己的需求后，根据几何结构搭建出来的。

• 有时候你要构建全等三角形，有时候是相似三角形，有时候是做个四边形……无论哪一种，只要明白了构造的原理，就大概率上能做出来。

（注意，我说的是大概率上，我只能这么教你，至于天才般的闪现——不否认存在，但不是谁都有的，我们普通人只能按照这种方法来修行）